تعریف ۴-۲۸٫ توپولوژی بالابرده شده
فرض کنید یک فضای توپولوژیک و یک ریخت پوششی باشد. همچنین فرض کنید دارای پوشش جهانی است. قرار دهید و . فرض کنید ?، گردایهی همهی مجموعههای باز و همبندراهی در باشد و . نمودار جابهجایی زیر را در نظر بگیرید:
نمودار۱۰.
چون ریخت پوششی است، نگاشت القاء میشود. بنابراین داریم و قرار میدهیم. را یک بالابر ازمینامیم و قرار میدهیم ?=.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
طبق مرجع [۱]، صفحهی ۳۸۱، ? یک پایهی توپولوژیکی برای میباشد. توپولوژی را توپولوژی بالابرده شده از توسط مینامیم.
گزاره ۴-۲۹٫ فرض کنید یک نگاشت پوششی و یک زیرمجموعه از باشد. همچنین فرض کنید . آنگاه ریخت القائی یک ریخت پوششی است.
برهان. به مرجع [۱]، صفحهی ۳۶۶ مراجعه کنید.
گزاره ۴-۳۰٫ فرض کنید یک حلقهی توپولوژیکی است که دارای پوشش جهانی میباشد. آنگاه گروهوار بنیادی یک حلقه-گروهوار توپولوژیکی است.
برهان. فرض کنید یک حلقهی توپولوژیکی با نگاشتهای ساختاری زیر باشد.
۱- .
۲- .
۳- .
۴- .
این نگاشتها، نگاشتهای زیر را القاء میکنند:
۱- .
۲- .
۳- .
۴- .
چونیک حلقهی توپولوژیکی است، پس برای هر مسیر پیوستهی ، چونومسیرهای پیوسته در هستند، بنابراین برای هر ، . پسنسبت به ضرب گروهی و ضرب حلقهای بسته است. اگر را وارون در در نظر بگیریم، وارون در میباشد. همچنینرا عضو همانی در نظر میگیریم جاییکه عضو همانی حلقهی باشد. برای ، داریم:
بنابراین یک حلقه است.
طبق گزاره ۴-۲۹، ریختهای گروهواری بالا، ریختهای پوششی از گروهوارها میباشند.
حال نشان میدهیم یک حلقه-گروهوار توپولوژیکی است. چون یک حلقهی توپولوژیکی است که دارای پوشش جهانی میباشد پس هر ، دارای یک همسایگی قابل بالابردن است. را مجموعهای از این همسایگیها در نظر میگیریم. فرض کنید ، طبق تعریف توپولوژی بالابرده شده، چون یک ریخت پوششی از گروهوارها و یک گروهوار روی است، پسدارای توپولوژی بالابرده شده از میباشد.
بنابراین مجموعهی ، شامل تمام بالابرهای مجموعههای عضو ، تشکیل یک پایه روی میدهد. پسیک فضای توپولوژیک است. نشان میدهیم ضرب گروهی
پیوسته است.
فرض کنید یک همسایگی باز و قابل بالابردن حول ، در باشد. را یک همسایگی باز حول و یک بالابر از در نظر میگیریم. نشان میدهیم یک همسایگی باز در است. چون پیوسته است، پس بازهایوحول و در موجود میباشند به طوریکهو. فرض کنید و بهترتیب همسایگیهای قابل بالا بردن ازو در باشند. قرار میدهیم و ، پس و همسایگیهای باز قابل بالابردن شامل و در میباشند. فرض کنید و بالابرهایو حولو در باشند. چون بالابرهای عناصر ، تشکیل یک پایه برای میدهند، پس ودر بازهای توپولوژیکی هستند. بنابراین درباز است.
طبق نمودار زیر داریم .
نمودار۱۱.
اگر و را بهترتیب مسیرهایی درون و در نظر بگیریم، چون ، پس . بنابراین برای و ، چون وبالابر است، داریم:
بنابراین ، درنتیجه . چون یک همسایگی باز شامل در میباشد و ، پس هر نقطهی ، مانند یک نقطهی درونی است، بنابراین یک همسایگی باز در میباشد.درنتیجه پیوسته است.
بهطور مشابه ثابت میشود ، و نیز پیوسته هستند. بنابراین یک حلقه-گروهوار توپولوژیکی میباشد. ■
فصل پنجم
رستهها و بالابرها
تعریف ۵-۱٫ فرض کنید یک فضای توپولوژیکی باشد. مجموعهای که اشیاء آن متشکل از نگاشتهای پوششی از فضاهای توپولوژیکی است و یک ریخت در آن از به ، یک نگاشت پوششی می باشد به طوریکه ، را رستهی مینامیم.
روی فضای توپولوژیکی ، گروهوار بنیادی را داریم، بنابراین را به صورت زیر تعریف میکنیم.
تعریف ۵-۲٫ مجموعهای که اشیاء آن متشکل از پوششهای گروهواری از است و یک ریخت در آن از به ، یک ریخت پوششی از گروهوارها است به طوریکه ، را رستهی مینامیم.
گزاره ۵-۳٫ فرض کنیدیک فضای توپولوژیکی است که دارای پوشش جهانی میباشد. آنگاه رستهی از پوششهای توپولوژیکیو رستهی از گروهوارهای پوششی گروهوار بنیادی همارز میباشند.
برهان. به مرجع [۱]، صفحهی ۳۸۸ مراجعه شود.
تعریف ۵-۴٫ فرض کنید و گروههای توپولوژیکی باشند. اگر یک ریخت از گروهها باشد و یک نگاشت پوششی روی فضاهای مورد نظر باشد، نگاشتیک ریخت پوششی از گروههای توپولوژیکی نامیده میشود.
برای گروه توپولوژیکی ، رستهای به نام داریم که اشیاء آن پوششهای گروهی توپولوژیکی میباشند و یک ریخت از به، یک نگاشت پوششی است به طوریکه .
برای گروه توپولوژیکی ، گروهوار بنیادی یک گروه-گروهوار است. بنابراین رستهی را بهصورت زیر تعریف میکنیم.
تعریف ۵-۵٫ مجموعهای که اشیاء آن متشکل از پوششهای گروه-گروهواری ازمیباشند و یک ریخت در آن از به ، یک ریخت پوششی از گروه-گروهوارها است به طوریکه ، را رستهی مینامیم.