(۴-۲-۱۴)
که در آن پریم یگانه و پریم دوگانه به ترتیب مشتق مرتبه­ی اول و دوم نسبت به  می­باشند.
با در نظر گرفتن متریک محاسبه شده و بررسی اسکالر کریشمن، (۴-۲-۱۴)، در می­یابیم که این کمیت در  های خیلی کوچک واگرا می­ شود و سایر نقاط دارای مقدار متناهی است:
(۴-۲-۱۵)
از این رو برای جواب­های حاصل از گرانش گوس- بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی نمایی در  یک تکینگی اصلی وجود دارد و لذا این فضازمان در بر گیرنده­ی یک سیاه­چاله می­باشد.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

برای بررسی جواب­های سیاه­چاله­ای، باید وجود افق­ها را بررسی کنیم. متریک ارائه شده در معادله (۴-۲-۲) دارای افق کیلینگ و افق رویداد است. منظور از افق کیلینگ، ابر سطحی است که مولدهای نول آن بر میدان کیلینگ مماس باشند.
بردار کلینگ برای متریک (n+1)- بعدی عبارت است از:
(۴-۲-۱۶)
که مولد نول افق رویداد می­باشد. در رابطه­ فوق،  همان  امین مولفه­ی سرعت زاویه­ای افق بیرونی است که با استمرار تحلیلی متریک به­دست می ­آید. برای سرعت زاویه­ای افق بیرونی با توجه به (۳-۱۰-۶) داریم:
(۴-۲-۱۷)
با بهره گرفتن از رابطه­ دما، (۳-۱۰-۲)، و نیز معادله­ (۴-۲-۱۶)، می­توان دما را به­ صورت زیر نوشت:
(۴-۲-۱۸)
در سیاه­چاله­های باردار تابع متریک به­ازای هر دو حالت  و  وابسته به پارامتر متریک به یک مقدار مثبت میل می­ کند. اما برای سیاه­چاله­های باردار با بار غیرخطی، تابع متریک وابسته به پارامتر غیرخطی  می ­تواند مثبت، صفر و منفی باشد. به­عبارت دیگر تابع متریک برای  های بزرگ مسلما یک مقدار مثبت است ولی برای  وابسته به کمیت غیرخطی  می ­تواند مثبت  ، صفر  و منفی  باشد. با فرض این­که  باشد می­توان  را بر حسب  ،  و  بدست آورد.
برای حالت  سیاه­چاله شبیه جواب شوارتزشیلد برای حالت آنتی­دوسیته دارای یک افق غیراکستریم با دمای مثبت است (جواب بدون بار). اما برای حالت  ، سیاه­چاله وابسته به انتخاب پارامتر غیرخطی اکستریم  می ­تواند دارای دو افق رویداد  ، یک افق رویداد (اکستریم)  و بدون افق رویداد (تکینگی برهنه^[۴۱])  باشد ]۲۲[.
۴-۳ گرانش گوس- بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی لگاریتمی
حال اگر لاگرانژی لگاریتمی را همان­طور که در فصل دوم معرفی شد به صورت:
(۴-۳-۱) LNEF
در نظر بگیریم، با در نظر گرفتن این لاگرانژی در فضایی که با متریک (۴-۲-۲) توصیف می­ شود معادلات میدان بر حسب  این­گونه محاسبه می­ شود:
(۴-۳-۲)
با حل معادله­ فوق بر حسب  داریم:
(۴-۳-۳)
حال با فرض روابط (۴-۱-۳) و (۴-۲-۲)، گرانش گوس- بونه در را در حضور الکترودینامیک غیرخطی لگاریتمی در نظر می­گیریم، پس از حل (۴-۱-۱۱) در ۵- بعد به معادلات دیفرانسیلی می­رسیم که ساده­ترین آن مولفه­  است که عبارت است از:
(۴-۳-۴)
در معادله­ دیفرانسیلی فوق  ، تابع متریک در ۵- بعد می­باشد،  و  می­باشد. اگر (۴-۳-۴) را بر حسب تابع متریک،  ، حل کنیم داریم:
(۴-۳-۵)
که
(۴-۳-۶)
که در معادله­ فوق  تابع فوق هندسی می­باشد.
این حالت نیز مانند قسمت (۴-۲)، برای یافتن فرم کلی تابع متریک در (n+1)بعد می­بایست تابع متریک را به همین صورت، (۴-۳-۵)، برای ابعاد بالاتر از ۵ نیز محاسبه کنیم. پس از محاسبه­ی معادلات میدان در ابعاد مختلف معادله­ دیفرانسیل برای مولفه­ی  به­ صورت زیر به­دست آوردیم:
(۴-۳-۷)
که  می­باشد. اگر (۴-۳-۷) را بر حسب  حل کنیم داریم:
(۴-۳-۸)
در این رابطه  عبارت است از:
(۴-۳-۹)
در صورتی که تابع متریک (n+1)- بعد را به­ طور همزمان برای  های کوچک و  های بزرگ بسط دهیم، برای  می­توان نوشت:
(۴-۳-۱۰)
در معادله­ فوق  که منطبق بر تابع متریک گرانش اینشتین- ماکسول در ۱+۴- بعد می­باشد و جمله­ دوم و سوم به­ترتیب اولین تصحیح میدان غیرخطی الکترومغناطیسی و گرانش گوس- بونه می­باشد. لازم به ذکر است که جمله­ چهارم تصحیحِ جفت شدگی گرانش با میدان الکترومغناطیسی را نشان می­دهد.
۴-۴ بررسی خصوصیات ترمودینامیکی سیاه­چاله­ گوس-بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی نمایی
در این قسمت ابتدا کمیت­های ترمودینامیکی و پایای لایه­ی سیاه را محاسبه می­کنیم. سپس رابطه­ اسمار را برای جواب­های به­دست آمده تعمیم داده، جرم را به صورت تابعی از آنتروپی، تکانه­ی زاویه­ای و بار به­دست آورده و سپس قانون اول ترمودینامیک را آزموده و تایید می­کنیم.
۴-۴-۱ کمیت­های ترمودینامیکی و پایا
هرگاه حجم ابرسطحی که با دو قید،  ثابت و  ثابت، حاصل می­ شود را  بنامیم، از آنجایی که آنتروپی با مساحت و قسمت فضایی معادله­ میدان ارتباط دارد در نتیجه آنتروپی برای گرانش گوس- بونه در حضور هر میدانی به یک شکل است. با توجه به این­که در گرانش گوس- بونه کار می­کنیم و در این سطح نمی­ توان به­ طور صریح از قانون مساحت استفاده کرد با بهره گرفتن از رابطه­ (۳-۱۰-۸) می­توان آنتروپی لایه­ی سیاه به شکل زیر به­دست آورد:
(۴-۴-۱)
همان­طور که ملاحظه می­کنید، در این حالت برای گرانش گوس- بونه آنتروپی قانون مساحت را برآورده می­ کند. لازم به­ذکر است که متریک مورد استفاده در این رساله دارای افق تخت بوده و لذا کمیت  در معادله­ (۳-۱۰-۸) صفر می­ شود.
برای محاسبه­ی پتانسیل الکتریکی، به کمک رابطه­ (۳-۱۰-۱۲) و بردار کیلینگ داده شده در رابطه­ (۴-۱-۲۰) داریم:
(۴-۴-۲)
همچنین با توجه به قسمت (۳-۱۰-۴) به محاسبه­ی بار الکتریکی بر واحد حجم می­پردازیم، مقدار به­دست آمده عبارت است از: